LOS 62.a: Major Return Measures

기초
1 Holding Period Return (HPR)

Holding Period Return (HPR)은 투자 기간 동안 투자 가치의 증가율을 나타냅니다.

$$\text{HPR} = \frac{\text{End Value} - \text{Beginning Value} + \text{Dividends}}{\text{Beginning Value}} = \frac{P_t - P_0 + D_t}{P_0}$$

예시: 주식을 €20에 매수하고, €1의 배당을 받고, €22에 매도한 경우:
HPR = (22 - 20 + 1) / 20 = 0.15 = 15%

2 Average Returns (평균 수익률)

Arithmetic Mean Return (산술평균 수익률): 단순 평균으로, 실제 평균의 불편추정치입니다.

$$\text{Arithmetic Mean} = \frac{R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n}{n}$$

Geometric Mean Return (기하평균 수익률): 복리 연평균 수익률입니다. 수익률이 변동할 때 산술평균보다 항상 작거나 같습니다.

$$\text{Geometric Mean} = \sqrt[n]{(1 + R_1) \times (1 + R_2) \times ... \times (1 + R_n)} - 1$$
📊 EXAMPLE: Return Measures

투자자가 뮤추얼 펀드에 $1,000를 투자했습니다. 3년간 수익률이 +5%, -8%, +12%였습니다.

  • 최종 가치: $1,000 × 1.05 × 0.92 × 1.12 = $1,081.92
  • HPR: (1,081.92 - 1,000) / 1,000 = 8.192%
  • 산술평균: (5% - 8% + 12%) / 3 = 3%
  • 기하평균: ∛(1.05 × 0.92 × 1.12) - 1 = 2.66%
3 Other Return Measures
  • • Gross Return: 운용보수 차감 전 수익률 (거래 수수료는 차감)
  • • Net Return: 운용보수 차감 후 수익률
  • • Pretax Nominal Return: 세전 명목 수익률
  • • After-tax Nominal Return: 세후 명목 수익률
  • • Real Return: 인플레이션 조정 수익률
  • • Leveraged Return: 레버리지 투자 수익률
$$\text{Real Return} \approx \text{Nominal Return} - \text{Inflation Rate}$$ $$\text{Real Return (정확한)} = \frac{1 + \text{Nominal Return}}{1 + \text{Inflation Rate}} - 1$$
Q: 왜 Geometric Mean이 Arithmetic Mean보다 항상 작거나 같을까요?
A: 이는 수학적 특성인 AM-GM 부등식 때문입니다. 수익률이 변동할 때, 손실이 이익보다 더 큰 영향을 미칩니다. 예를 들어 -50% 손실을 회복하려면 +100% 수익이 필요합니다. Geometric Mean은 이러한 복리 효과를 정확히 반영하여 실제 투자자가 경험하는 수익률을 나타냅니다. 따라서 장기 투자 성과를 평가할 때는 Geometric Mean이 더 적절합니다.

LOS 62.b: Money-weighted vs Time-weighted Returns

중급

⚖️ 두 가지 수익률 측정 방법

1

Money-weighted Return (MWR)

• IRR(내부수익률) 개념을 포트폴리오에 적용

• 모든 현금 유입과 유출을 고려

• 투자 시점에 따라 결과가 달라짐

• 투자자가 현금흐름을 통제할 때 적절

2

Time-weighted Return (TWR)

• 복리 성장률을 측정

• 현금흐름 시점의 영향을 제거

• 운용사 성과 평가에 적합

• 업계 표준 성과 측정 방법

💰 EXAMPLE: MWR vs TWR 계산

투자자가 t=0에 주식을 $100에 매수, t=1에 추가로 $120에 매수, t=2에 모두 $130에 매도. 매년 주당 $2 배당.

Money-weighted Return:

  • t=0: -$100 (유출)
  • t=1: -$118 (유출: $120 매수 - $2 배당)
  • t=2: +$264 (유입: $260 매도 + $4 배당)

IRR 계산: MWR = 13.86%

Time-weighted Return:

  • Period 1 HPR: (120 + 2) / 100 - 1 = 22%
  • Period 2 HPR: (260 + 4) / 240 - 1 = 10%
  • TWR: [(1.22)(1.10)]^0.5 - 1 = 15.84%
💡
중요: TWR > MWR인 경우는 성과가 좋을 때 자금이 적고, 성과가 나쁠 때 자금이 많았음을 의미합니다. 반대로 TWR < MWR인 경우는 투자 타이밍이 좋았음을 나타냅니다.
Q: 왜 펀드매니저 평가에는 TWR을 사용하고, 개인 투자 성과에는 MWR을 사용할까요?
A: 펀드매니저는 투자자의 자금 유입/유출 시점을 통제할 수 없습니다. 따라서 현금흐름의 영향을 제거한 TWR이 순수한 운용 능력을 평가하는 데 적합합니다. 반면 개인 투자자는 언제 투자하고 회수할지 직접 결정하므로, 실제 경험한 수익률인 MWR이 더 의미가 있습니다. 예를 들어, 고점에 많이 투자하고 저점에 팔았다면 MWR이 낮게 나와 잘못된 타이밍 결정을 반영합니다.

LOS 62.c & 62.d: Asset Classes & Risk Aversion

중급

주요 자산군의 위험-수익 특성 (1926-2017)

Asset Class Average Annual Return
(Geometric Mean)		 Standard Deviation
(Annualized Monthly)		 특징
Small-cap stocks
소형주		 12.1% 31.7% 최고 수익, 최고 위험
Large-cap stocks
대형주		 10.2% 19.8% 높은 수익, 중간 위험
Long-term corporate bonds
장기 회사채		 6.1% 8.3% 중간 수익, 낮은 위험
Long-term government bonds
장기 국채		 5.5% 9.9% 안정적 수익
Treasury bills
단기 국채		 3.4% 3.1% 최저 수익, 최저 위험
Inflation
인플레이션		 2.9% 4.0% 실질수익률 계산 기준
🎯 Risk Aversion (위험 회피)

Risk-averse investor (위험회피형): 동일한 기대수익률이면 위험이 낮은 투자를 선호. 대부분의 투자자가 여기에 해당.

Risk-neutral investor (위험중립형): 위험에 무관심. 기대수익률만 고려.

Risk-seeking investor (위험추구형): 동일한 기대수익률이면 위험이 높은 투자를 선호.

동전 던지기 예시: 앞면이면 $100, 뒷면이면 $0. 기댓값은 $50.

  • 위험회피형: 확실한 $50를 선택
  • 위험중립형: 둘 다 무관
  • 위험추구형: 도박을 선택
Risk-Return Tradeoff of Major Asset Classes
⚠️
주의사항:
• 수익률 분포는 정규분포가 아님 (negative skewness, excess kurtosis)
• 유동성도 중요한 고려사항 (특히 신흥시장, 저신용 채권)
• 과거 성과가 미래 수익을 보장하지 않음

LOS 62.e: Optimal Portfolio Selection & CAL

고급
📈 Indifference Curves (무차별곡선)

무차별곡선은 투자자에게 동일한 효용을 제공하는 위험-수익 조합을 나타냅니다.

  • 위험회피형 투자자의 무차별곡선은 우상향
  • 더 위쪽의 곡선이 더 높은 효용
  • 위험회피도가 높을수록 곡선이 가파름
🎯 Capital Allocation Line (CAL)

무위험자산과 위험자산 포트폴리오의 모든 가능한 조합을 나타내는 직선입니다.

$$E(R_p) = w \cdot E(R_{risky}) + (1-w) \cdot R_f$$ $$\sigma_p = w \cdot \sigma_{risky}$$

Two-Fund Separation Theorem: 모든 투자자의 최적 포트폴리오는 무위험자산과 최적 위험자산 포트폴리오의 조합으로 구성됩니다.

Capital Allocation Line & Indifference Curves
Q: 왜 모든 투자자가 동일한 위험자산 포트폴리오를 보유하고, 위험회피도에 따라 무위험자산 비중만 조절할까요?
A: 이는 Two-Fund Separation Theorem의 핵심입니다. 최적 위험자산 포트폴리오(접점 포트폴리오)는 객관적으로 결정되며, 모든 투자자에게 동일합니다. 투자자의 주관적인 위험회피도는 CAL 상에서 어느 점을 선택할지만 결정합니다. 위험회피도가 높은 투자자는 무위험자산 비중을 늘리고, 낮은 투자자는 위험자산 비중을 늘립니다. 심지어 차입을 통해 100% 이상 위험자산에 투자할 수도 있습니다.

LOS 62.f & 62.g: Portfolio Risk Calculations

고급
📊 Variance & Standard Deviation

Sample Variance (표본분산)

$$s^2 = \frac{\sum_{t=1}^{T}(R_t - \bar{R})^2}{T-1}$$

Covariance (공분산)

$$\text{Cov}_{1,2} = \frac{\sum_{t=1}^{n}\{[R_{1,t} - \bar{R}_1][R_{2,t} - \bar{R}_2]\}}{n-1}$$

Correlation (상관계수)

$$\rho_{1,2} = \frac{\text{Cov}_{1,2}}{\sigma_1 \sigma_2}$$

상관계수 해석:

  • ρ = +1: 완전 양의 상관관계
  • ρ = 0: 무상관
  • ρ = -1: 완전 음의 상관관계
📐 EXAMPLE: Covariance & Correlation 계산
Year Asset A Asset B
1 5% 7%
2 -2% -4%
3 12% 18%

계산 결과:

  • • Mean A = 5%, Mean B = 7%
  • • σ_A = 7%, σ_B = 11%
  • • Cov(A,B) = 77
  • • ρ(A,B) = 1.0 (완전 양의 상관관계)
💼 Portfolio Standard Deviation

2자산 포트폴리오의 표준편차:

$$\sigma_p = \sqrt{w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1w_2\rho_{1,2}\sigma_1\sigma_2}$$

특수한 경우:

  • ρ = +1: σ_p = w₁σ₁ + w₂σ₂ (선형 관계)
  • ρ = 0: 제3항이 0이 됨
  • ρ = -1: 특정 가중치에서 σ_p = 0 가능
💡
핵심 포인트: 상관계수가 +1보다 작으면 분산투자 효과가 발생합니다. 상관계수가 낮을수록 위험 감소 효과가 큽니다.

LOS 62.h: Effect of Correlation on Portfolio Risk

중급
🔍 EXAMPLE: 상관계수 변화에 따른 포트폴리오 위험

두 자산의 표준편차: σ₁ = 25%, σ₂ = 18%
동일가중 포트폴리오 (w₁ = w₂ = 0.5)의 위험:

Correlation (ρ) Portfolio σ 위험 감소 효과
+1.0 21.5% 없음 (선형결합)
+0.5 18.7% 13% 감소
0.0 15.4% 28% 감소
-0.5 11.2% 48% 감소
Portfolio Risk vs Correlation

🎯 분산투자의 핵심 원리

1

상관계수가 +1일 때

• 분산투자 효과 없음
• 포트폴리오 위험 = 가중평균 위험

2

상관계수가 +1 미만일 때

• 분산투자로 위험 감소
• 상관계수가 낮을수록 효과 증대

3

상관계수가 -1일 때

• 최대 분산투자 효과
• 특정 가중치에서 위험 제거 가능

Q: 실무에서 상관계수 -1인 자산을 찾을 수 있을까요?
A: 현실에서 완전한 음의 상관관계(-1)를 가진 자산을 찾기는 매우 어렵습니다. 대부분의 자산은 시장 위험(systematic risk)에 함께 노출되어 있기 때문입니다. 그러나 주식과 채권처럼 낮은 양의 상관관계나 때로는 음의 상관관계를 보이는 자산들을 조합하여 상당한 분산투자 효과를 얻을 수 있습니다. 또한 금융위기 시에는 거의 모든 자산의 상관관계가 증가하여 분산투자 효과가 감소하는 것도 고려해야 합니다.

LOS 62.i: Minimum-Variance & Efficient Frontiers

고급
🎯 Key Concepts

Minimum-Variance Frontier (최소분산프론티어)

각 기대수익률 수준에서 가장 낮은 위험을 가진 포트폴리오들의 집합

Global Minimum-Variance Portfolio (전역최소분산포트폴리오)

모든 가능한 포트폴리오 중 가장 낮은 위험을 가진 포트폴리오

Efficient Frontier (효율적 프론티어)

최소분산프론티어의 상단 부분. 각 위험 수준에서 가장 높은 기대수익률을 제공하는 포트폴리오들

Efficient Frontier
⚠️
중요:
• 위험회피형 투자자는 효율적 프론티어 상의 포트폴리오만 선택
• 효율적 프론티어 아래의 포트폴리오는 비효율적 (dominated)
• 개별 증권은 대부분 효율적 프론티어 아래에 위치

📊 효율적 포트폴리오의 특징

1

Mean-Variance Efficiency

주어진 위험에서 최대 수익, 또는 주어진 수익에서 최소 위험

2

Diversification

개별 자산보다 우수한 위험-수익 특성

3

Investor Choice

위험회피도에 따라 효율적 프론티어 상의 다른 점 선택

Module Quiz 실전 연습

실전
Quiz 1

An investor buys a share of stock for $40 at time t = 0, buys another share of the same stock for $50 at t = 1, and sells both shares for $60 each at t = 2. The stock paid a dividend of $1 per share at t = 1 and at t = 2. The periodic money-weighted rate of return on the investment is closest to:

  • A. 22.2%
  • B. 23.0%
  • C. 23.8%
정답: C

해설: Money-weighted return은 IRR 계산입니다.

CF₀ = -40, CF₁ = -50 + 1 = -49, CF₂ = 60 × 2 + 2 = 122

계산기로 IRR = 23.82%

핵심: MWR은 현금흐름의 크기와 시점을 모두 고려합니다.

Quiz 2

In a 5-year period, the annual returns on an investment are 5%, -3%, -4%, 2%, and 6%. The standard deviation of annual returns on this investment is closest to:

  • A. 4.0%
  • B. 4.5%
  • C. 20.7%
정답: B

해설:

1) 평균 = (5 - 3 - 4 + 2 + 6) / 5 = 1.2%

2) 편차 제곱합 = 3.8² + (-4.2)² + (-5.2)² + 0.8² + 4.8² = 82.8

3) 표본분산 = 82.8 / (5-1) = 20.7

4) 표준편차 = $\sqrt{20.7}$ = 4.55%

Quiz 3

The variance of returns is 0.09 for Stock A and 0.04 for Stock B. The covariance between the returns of A and B is 0.006. The correlation of returns between A and B is:

  • A. 0.10
  • B. 0.20
  • C. 0.30
정답: A

해설:

$\sigma_A = \sqrt{0.09} = 0.30$, $\sigma_B = \sqrt{0.04} = 0.20$

ρ = Cov(A,B) / (σ_A × σ_B) = 0.006 / (0.30 × 0.20) = 0.10

핵심: 상관계수는 -1과 +1 사이의 표준화된 값입니다.

Quiz 4

Which of the following statements about risk-averse investors is most accurate? A risk-averse investor:

  • A. seeks out the investment with minimum risk, while return is not a major consideration.
  • B. will take additional investment risk if sufficiently compensated for this risk.
  • C. avoids participating in global equity markets.
정답: B

해설: 위험회피형 투자자는 위험을 싫어하지만, 충분한 추가 수익이 보상된다면 위험을 감수합니다.

A는 틀림: 수익도 중요한 고려사항입니다.

C는 틀림: 적절한 보상이 있다면 주식시장에도 참여합니다.

Quiz 5

A portfolio was created by investing 25% of the funds in Asset A (standard deviation = 15%) and the balance of the funds in Asset B (standard deviation = 10%). If the correlation coefficient is 0.75, what is the portfolio's standard deviation?

  • A. 10.6%
  • B. 12.4%
  • C. 15.0%
정답: A

해설:

σ_p² = (0.25)²(0.15)² + (0.75)²(0.10)² + 2(0.25)(0.75)(0.75)(0.15)(0.10)

σ_p² = 0.001406 + 0.005625 + 0.004219 = 0.01125

$\sigma_p = \sqrt{0.01125} = 0.106$ = 10.6%

Q: 왜 포트폴리오의 표준편차가 개별 자산 표준편차의 가중평균(11.25%)보다 낮을까요?
A: 이것이 바로 분산투자의 효과입니다! 상관계수가 +1이 아닌 한(이 경우 0.75), 포트폴리오의 위험은 항상 개별 자산 위험의 가중평균보다 낮습니다.

수학적으로는 포트폴리오 분산 공식의 세 번째 항(2w₁w₂ρσ₁σ₂)이 완전 상관(ρ=1)일 때보다 작아지기 때문입니다.

직관적으로는 두 자산이 항상 같은 방향으로 움직이지 않으므로, 한 자산의 손실을 다른 자산의 이익이 부분적으로 상쇄할 수 있기 때문입니다. 이것이 "모든 달걀을 한 바구니에 담지 말라"는 격언의 수학적 증명입니다.

핵심 요약 및 시험 대비 포인트

🎯 시험에 자주 나오는 핵심 개념

1

Returns Measures

• HPR = (End - Begin + Dividends) / Begin
• Geometric Mean < Arithmetic Mean (변동성이 있을 때)
• Real Return ≈ Nominal - Inflation

2

MWR vs TWR

• MWR = IRR, 현금흐름 시점 영향 O
• TWR = 복리수익률, 현금흐름 시점 영향 X
• 운용사 평가는 TWR 사용

3

Risk & Return Trade-off

• Small-cap: 최고 수익, 최고 위험
• T-bills: 최저 수익, 최저 위험
• 위험회피형이 추가 위험 감수 = 충분한 보상 필요

4

Portfolio Risk

• ρ < +1이면 분산투자 효과 발생
• ρ가 낮을수록 위험 감소 효과 증대
• Covariance = ρ × σ₁ × σ₂

5

Efficient Frontier

• 각 위험 수준에서 최대 수익 포트폴리오
• Global Min-Var Portfolio = 최저 위험점
• 위험회피형은 효율적 프론티어만 선택

⚠️
시험 함정 주의:
• Sample variance는 n-1로 나눔 (n 아님!)
• Correlation은 -1과 +1 사이 (공분산과 혼동 금지)
• Risk-averse ≠ Risk 회피만 추구 (수익도 고려)
• ρ = -1일 때만 포트폴리오 위험 = 0 가능