LOS 63.a: Combining a Risk-Free Asset with Risky Assets

기초
1 Risk-Free Asset의 특성

Risk-free asset은 확정된 수익률을 제공하는 자산으로, 표준편차가 0이고 다른 자산과의 상관계수도 0입니다. 대표적인 예는 단기 국채(T-bills)입니다.

$$E(R_p) = W_A \cdot E(R_A) + W_B \cdot E(R_B)$$ $$\sigma_p = \sqrt{W_A^2\sigma_A^2 + W_B^2\sigma_B^2 + 2W_AW_B\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B}$$

Risk-free asset (B)의 경우 σ_B = 0이므로:

$$\sigma_p = W_A\sigma_A$$
Q: 왜 무위험자산과 위험자산의 조합이 직선 관계를 형성할까요?
A: 무위험자산의 표준편차가 0이기 때문입니다. 포트폴리오의 위험은 위험자산의 비중에 정확히 비례하게 되어 (σ_p = W_A × σ_A), 위험과 수익률의 관계가 선형이 됩니다. 이는 분산투자 효과가 없다는 의미가 아니라, 무위험자산이 포트폴리오의 전체 위험을 비례적으로 감소시킨다는 뜻입니다.
Risk-Free Asset과 Risky Asset의 조합

LOS 63.b: Capital Allocation Line & Capital Market Line

중급

📈 CAL과 CML의 핵심 개념

1

Capital Allocation Line (CAL)

• 무위험자산과 임의의 위험자산 포트폴리오의 조합

• 투자자마다 다른 CAL을 가질 수 있음

• 기울기 = (E(R_p) - R_f) / σ_p

2

Capital Market Line (CML)

• 무위험자산과 시장 포트폴리오의 조합

• Homogeneous expectations 가정 하에 모든 투자자에게 동일

• Efficient frontier에 접하는 CAL

$$E(R_p) = R_f + \frac{E(R_M) - R_f}{\sigma_M} \times \sigma_p$$
M Market Portfolio (시장 포트폴리오)

Homogeneous expectations 가정 하에서 모든 투자자가 동일한 기대치를 가지면, 모두가 같은 최적 위험자산 포트폴리오를 선택합니다. 이것이 바로 market portfolio입니다.

  • 모든 위험자산을 시가총액 비중으로 포함
  • Efficient frontier 상의 접점 포트폴리오
  • 실무에서는 주식시장 지수로 대체
Capital Market Line (CML)
💡
Lending vs Borrowing Portfolio:
• W_M < 100%: Lending portfolio (무위험자산에 투자)
• W_M = 100%: 시장 포트폴리오
• W_M > 100%: Borrowing portfolio (차입하여 투자)

LOS 63.c: Systematic vs Nonsystematic Risk

중급
🎯 Total Risk = Systematic + Unsystematic Risk
구분 Systematic Risk
(체계적 위험)		 Unsystematic Risk
(비체계적 위험)
다른 이름 Market risk
Nondiversifiable risk		 Unique risk
Firm-specific risk
Diversifiable risk
원인 거시경제 요인
(GDP, 금리, 인플레이션)		 기업 고유 요인
(경영진, 신제품, 소송)
분산투자 효과 제거 불가능 제거 가능
보상 Risk premium 있음 Risk premium 없음
Q: 왜 투자자는 unsystematic risk에 대해 보상받지 못할까요?
A: 분산투자가 사실상 무료(costless)라는 가정 하에서, 투자자가 쉽게 제거할 수 있는 위험에 대해 시장이 추가 수익을 제공할 이유가 없기 때문입니다.

예를 들어, 한 제약회사의 신약 개발 성공 여부는 큰 위험이지만, 10개의 제약회사에 분산투자하면 이 위험은 크게 감소합니다. 따라서 시장은 이런 기업 고유의 위험에 대해서는 추가 수익을 제공하지 않고, 오직 제거할 수 없는 systematic risk에 대해서만 보상합니다.
분산투자에 따른 위험 감소
⚠️
주의사항:
• 약 30개 종목으로 대부분의 unsystematic risk 제거 가능
• 금융위기 시 상관관계 증가로 분산투자 효과 감소
• Total risk가 높아도 systematic risk가 낮으면 기대수익률이 낮을 수 있음

LOS 63.d: Return Generating Models

중급
📊 Return Generating Models의 종류

1. Multifactor Model

$$E(R_i) - R_f = \beta_{i1} \times E(\text{Factor 1}) + \beta_{i2} \times E(\text{Factor 2}) + ... + \beta_{ik} \times E(\text{Factor k})$$

2. Single-Index Model

$$E(R_i) - R_f = \beta_i \times [E(R_m) - R_f]$$

3. Market Model

$$R_i = \alpha_i + \beta_i R_m + e_i$$

여기서 e_i는 abnormal return (실제 수익률과 예상 수익률의 차이)

📊 EXAMPLE: Fama-French 3-Factor Model

Fama-French 모델은 세 가지 요인을 사용합니다:

  • 1. Market factor: 시장 초과수익률 (R_m - R_f)
  • 2. Size factor (SMB): Small minus Big - 소형주와 대형주 수익률 차이
  • 3. Value factor (HML): High minus Low - 가치주와 성장주 수익률 차이

Carhart는 여기에 momentum factor를 추가하여 4-factor model을 제안했습니다.

💡
Factor 선택 기준:
• Macroeconomic factors: GDP 성장률, 인플레이션, 금리
• Fundamental factors: 기업 규모, PBR, 수익성
• Statistical factors: 이론적 근거 없이 데이터에서 발견 (주의 필요!)

LOS 63.e: Calculate and Interpret Beta

고급
β Beta 계산 방법

Beta는 개별 자산의 수익률이 시장 수익률에 얼마나 민감한지를 나타내는 표준화된 측정치입니다.

$$\beta_i = \frac{\text{Cov}(R_i, R_m)}{\sigma_m^2} = \frac{\rho_{im} \times \sigma_i \times \sigma_m}{\sigma_m^2} = \rho_{im} \times \frac{\sigma_i}{\sigma_m}$$
📐 EXAMPLE: Beta 계산

시장 표준편차 = 20%, Asset A의 표준편차 = 30%

Case 1: 상관계수 = 0.8일 때

β_A = 0.8 × (30% / 20%) = 0.8 × 1.5 = 1.2

Case 2: Cov(A, M) = 0.048일 때

β_A = 0.048 / 0.20² = 0.048 / 0.04 = 1.2

📊 Beta의 해석

β=0

시장과 무관한 자산 (예: 무위험자산)

β=1

시장과 동일한 systematic risk (시장 평균)

β>1

시장보다 높은 systematic risk (aggressive)

0<β<1

시장보다 낮은 systematic risk (defensive)

Security Characteristic Line

LOS 63.f, g, h: CAPM and Security Market Line

고급
📈 Capital Asset Pricing Model (CAPM)
$$E(R_i) = R_f + \beta_i[E(R_m) - R_f]$$

CAPM의 가정:

  • Risk aversion (위험회피형 투자자)
  • Utility maximizing (효용 극대화)
  • Frictionless markets (무마찰 시장)
  • One-period horizon (단일 기간)
  • Homogeneous expectations (동질적 기대)
  • Divisible assets (분할 가능한 자산)
  • Competitive markets (경쟁적 시장)
⚠️
CML vs SML 구분:
• CML: x축 = Total risk (σ), Efficient portfolios만 위치
• SML: x축 = Systematic risk (β), 모든 자산이 위치
💡 EXAMPLE: CAPM을 이용한 기대수익률 계산

R_f = 2%, E(R_m) = 8%, Stock A의 β = 1.2

E(R_A) = 2% + 1.2 × (8% - 2%) = 2% + 1.2 × 6% = 9.2%

해석: β > 1이므로 Stock A는 시장보다 높은 systematic risk를 가지며, 따라서 시장 수익률(8%)보다 높은 기대수익률(9.2%)이 요구됩니다.

Security Market Line (SML)
Q: 왜 SML 위에 있는 증권은 적정가치로 평가되고, 위나 아래에 있는 증권은 잘못 평가된 것일까요?
A: SML은 균형 상태에서 systematic risk(β)에 따른 적정 기대수익률을 나타냅니다.

• SML 위쪽 증권: Undervalued - 현재 가격이 낮아 기대수익률이 높음. 매수 기회!
• SML 아래쪽 증권: Overvalued - 현재 가격이 높아 기대수익률이 낮음. 매도 또는 공매도 대상.
• SML 위의 증권: Properly valued - systematic risk에 적합한 수익률 제공.

시장이 효율적이라면 차익거래를 통해 모든 증권이 결국 SML 위로 수렴합니다.

LOS 63.i: Portfolio Performance Measures

고급

📊 Risk-Adjusted Performance Measures

1

Sharpe Ratio

$$\text{Sharpe Ratio} = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p}$$

• Total risk 기준 초과수익률

• 비분산 포트폴리오 평가에 적합

2

Treynor Measure

$$\text{Treynor} = \frac{R_p - R_f}{\beta_p}$$

• Systematic risk 기준 초과수익률

• 분산된 포트폴리오 평가에 적합

3

M-Squared (M²)

$$M^2 = R_f + \frac{\sigma_M}{\sigma_p}(R_p - R_f)$$

• 시장과 동일한 위험 수준으로 조정한 수익률

• Sharpe ratio와 동일한 순위

4

Jensen's Alpha

$$\alpha_p = R_p - [R_f + \beta_p(R_m - R_f)]$$

• CAPM 대비 초과수익률

• 양수면 outperformance

📊 EXAMPLE: Performance Measures 계산

Portfolio P: R_p = 10%, σ_p = 20%, β_p = 1.2

Market: R_m = 8%, σ_m = 15%

Risk-free rate: R_f = 3%

Sharpe Ratio: (10% - 3%) / 20% = 0.35
Treynor: (10% - 3%) / 1.2 = 5.83%
M²: 3% + (15%/20%) × 7% = 8.25%
Jensen's Alpha: 10% - [3% + 1.2 × (8% - 3%)] = 1%
💡
언제 어떤 측정치를 사용할까?
• 단일 매니저/비분산 포트폴리오: Sharpe ratio, M²
• 복수 매니저/분산 포트폴리오: Treynor, Jensen's alpha
• 벤치마크 대비 평가: Jensen's alpha

Module Quiz 실전 연습

실전
Quiz 1

An investor put 60% of his portfolio into a risky asset offering a 10% return with a standard deviation of returns of 8% and put the balance of his portfolio in a risk-free asset offering 5%. What is the expected return and standard deviation of his portfolio?

정답 풀이

Expected return:

E(R_p) = 0.60 × 10% + 0.40 × 5% = 6% + 2% = 8%

Standard deviation:

σ_p = W_risky × σ_risky = 0.60 × 8% = 4.8%

핵심 개념: 무위험자산의 표준편차는 0이므로 포트폴리오 위험은 위험자산 비중에 정비례합니다.

Quiz 2

What is the risk measure associated with the capital market line (CML)?

  • A. Beta risk
  • B. Unsystematic risk
  • C. Total risk
정답: C

해설: CML은 x축으로 total risk (σ_p)를 사용합니다. 이는 efficient portfolios의 위험-수익 관계를 나타내기 때문입니다.

비교: SML은 x축으로 systematic risk (β)를 사용하여 모든 자산의 균형 수익률을 나타냅니다.

Quiz 3

As the number of stocks in a portfolio increases, the portfolio's systematic risk:

  • A. can increase or decrease
  • B. decreases at a decreasing rate
  • C. decreases at an increasing rate
정답: A

해설: Systematic risk는 분산투자로 제거할 수 없습니다. 포트폴리오의 systematic risk는 추가되는 주식의 beta에 따라 증가하거나 감소할 수 있습니다.

핵심: 분산투자는 unsystematic risk만 감소시키며, systematic risk는 포트폴리오 구성에 따라 변합니다.

Quiz 4

The covariance of the market's returns with a stock's returns is 0.005 and the standard deviation of the market's returns is 0.05. What is the stock's beta?

정답 계산

β = Cov(i,m) / σ_m²

β = 0.005 / (0.05)²

β = 0.005 / 0.0025

β = 2.0

해석: Beta가 2.0이므로 이 주식은 시장 변동성의 2배로 움직입니다.

Quiz 5

According to the CAPM, what is the expected rate of return for a stock with a beta of 1.2, when the risk-free rate is 6% and the market rate of return is 12%?

정답 계산

E(R_i) = R_f + β_i[E(R_m) - R_f]

E(R_i) = 6% + 1.2 × (12% - 6%)

E(R_i) = 6% + 1.2 × 6%

E(R_i) = 6% + 7.2% = 13.2%

Quiz 6

Which of the following statements about the SML and the CML is least accurate?

  • A. Securities that plot above the SML are undervalued
  • B. Investors expect to be compensated for systematic risk
  • C. Securities that plot on the SML have no value to investors
정답: C

해설: SML 위의 증권들은 적정가치로 평가되어 있으며, 투자 가치가 있습니다. 균형 상태에서 systematic risk에 적합한 수익률을 제공합니다.

A는 맞습니다 - SML 위쪽 증권은 undervalued (매수 기회)

B는 맞습니다 - Systematic risk에 대해서만 risk premium 존재

Q: Portfolio P의 Sharpe ratio가 시장보다 높다면, 이 포트폴리오는 효율적인가요?
A: 꼭 그렇지는 않습니다. Sharpe ratio는 total risk 대비 초과수익률을 측정하므로, 비효율적이지만 unsystematic risk가 높은 포트폴리오도 높은 Sharpe ratio를 가질 수 있습니다.

진정한 효율성 판단은:
• CML 위에 있는가? (efficient frontier 상의 포트폴리오 + 무위험자산 조합)
• 주어진 위험 수준에서 최대 수익률을 제공하는가?

따라서 Sharpe ratio는 성과 평가에는 유용하지만, 효율성의 절대적 지표는 아닙니다.

핵심 요약 및 시험 대비 포인트

🎯 시험에 자주 나오는 핵심 개념

1

Risk-Free Asset 조합

• σ_p = W_A × σ_A (선형 관계)
• Borrowing portfolio: W_risky > 100%
• Lending portfolio: W_risky < 100%

2

CML vs SML

• CML: Total risk (σ), Efficient portfolios only
• SML: Systematic risk (β), All securities
• 균형에서 모든 증권은 SML 위에 위치

3

Beta 계산

• β = Cov(i,m) / σ_m²
• β = ρ_im × (σ_i / σ_m)
• Market beta = 1.0

4

CAPM 공식

• E(R_i) = R_f + β_i[E(R_m) - R_f]
• Market risk premium = E(R_m) - R_f
• Only systematic risk is priced

5

Performance Measures

• Sharpe: Total risk 기준
• Treynor: Systematic risk 기준
• Jensen's alpha: CAPM 대비 초과수익

⚠️
시험 함정 주의:
• Unsystematic risk는 보상 없음 (분산투자로 제거 가능)
• Beta ≠ Total risk (correlation 고려 필요)
• SML 위 = properly valued (not overvalued!)
• CML은 efficient portfolios만, SML은 모든 자산